Question

如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点， （为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.

（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；

（2）当（为常数），时，求FG的长；

（3）记四边形BFEG的面积为，矩形ABCD的面积为，当时，求的值.（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer

（1）菱形，理由见解析；（2）；（3）6.

【解析】

试题分析：（1）根据矩形和线段垂直平分线的性质，由AAS证明ΔBOF≌ΔBOG，得到BG＝GE＝EF＝FB，从而得出四边形BFEG是菱形的结论.

（2）根据矩形和菱形的性质，反复应用勾股定理即可求得FG的长.

（3）同（2）的思路，应用特殊元素法，列出关于n的方程求解即可.

试题解析：（1）（1）菱形，理由如下：

∵FG为BE的垂直平分线，∴FE＝FB，GB＝GE，∠FEB＝∠FBO.

又∵FE∥BG，∴∠FEB＝∠GBO. ∴∠FBO＝∠GBO，BO＝BO，∠BOF＝∠BOG.

∴ΔBOF≌ΔBOG（AAS）. ∴BF＝BG.

∴BG＝GE＝EF＝FB. ∴BFEG为菱形.

（2）∵AB＝a，AD=2AB，，∴AD＝2a，.

∴根据勾股定理，得 BE＝. ∴OE＝.

设菱形BFEG的边长为x，

∵AB2＋AF2＝BF2，

∴，解得：x＝.

∴OF＝.

∴FG＝.

（3）n＝6.

考点：1.矩形的性质；2.线段垂直平分线的性质；3.全等三角形的判定和性质；5.菱形的判定和性质；6.勾股定理；7. 特殊元素法和方程思想的应用.