Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；

（2）线段PQ的最大值为；

（3）符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．

【解析】

试题分析：（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；

（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题；

（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．

试题解析：（1）如图1，

∵A（﹣3，0），C（0，4），

∴OA=3，OC=4．

∵∠AOC=90°，

∴AC=5．

∵BC∥AO，AB平分∠CAO，

∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．

∴BC=AC．

∴BC=5．

∵BC∥AO，BC=5，OC=4，

∴点B的坐标为（5，4）．

∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，

∴

解得：

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；

（2）如图2，

设直线AB的解析式为y=mx+n，

∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，

∴

解得：

∴直线AB的解析式为y=x+．

设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．

∴yP=t+，yQ=﹣t2+t+4．

∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣（t+）

=﹣t2+t+4﹣t﹣

=﹣t2++

=﹣（t2﹣2t﹣15）

=﹣ [（t﹣1）2﹣16]

=﹣（t﹣1）2+．

∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，

∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．

∴线段PQ的最大值为；

（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．

抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．

∴xH=xG=xM=．

∴yG=×+=．

∴GH=．

∵∠GHA=∠GAM=90°，

∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．

∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，

∴△AHG∽△MHA．

∴．

∴．

解得：MH=11．

∴点M的坐标为（，﹣11）．

②当∠ABM=90°时，如图4所示．

∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，

∴BG=．

同理：AG=．

∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，

∴△AGH∽△MGB．

∴．

∴．

解得：MG=．

∴MH=MG+GH=+=9．

∴点M的坐标为（，9）．

综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．

考点：二次函数综合题．