Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．

（1）求一次函数、反比例函数的解析式；

（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）一次函数解析式为y=x+1，反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=；

（2）反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．

【解析】

试题分析：（1）由AC=BC，且OC垂直于AB，利用三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，将P与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式；

（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，由一次函数解析式求出C坐标，得出直线BC斜率，求出过P且与BC平行的直线PD解析式，与反比例解析式联立求出D坐标，检验得到四边形BCPD为菱形，符合题意．

试题解析：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O为AB的中点，即OA=OB=4，

∴P（4，2），B（4，0），

将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：，

解得：k=，b=1，

∴一次函数解析式为y=x+1，

将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=；

（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，

对于一次函数y=x+1，令x=0，得到y=1，即C（0，1），

∴直线BC的斜率为=﹣，

设过点P，且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣（x﹣4），即y=，

与反比例解析式联立得：，

消去y得：=，

整理得：x2﹣12x+32=0，即（x﹣4）（x﹣8）=0，

解得：x=4（舍去）或x=8，

当x=8时，y=1，

∴D（8，1），

此时PD=，BC=，即PD=BC，

∵PD∥BC，

∴四边形BCPD为平行四边形，

∵PC=，即PC=BC，

∴四边形BCPD为菱形，满足题意，

则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．

考点：反比例函数综合题．