Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．

（1）求证：∠ACM=∠ABC；

（2）延长BC到D，使BC = CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED = 2,求∆ACE的外接圆的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质和等腰三角形等边对等角的性质，应用角的转换即可证得结论.

（2）由已知可得OC是△ABC的中位线，从而可得ΔAEC是直角三角形，即AEC的外接圆的直径为AC，通过证明ΔABC∽ΔCDE求得BC的长，在RtΔABC中应用勾股定理求出AC的长，从而得到∆ACE的外接圆的半径．

试题解析：（1）如图，连接OC，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB = 90°. ∴∠ABC＋∠BAC= 90°.

又∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM. ∴∠ACM＋∠ACO= 90° .

∵CO = AO，∴∠BAC =∠ACO. ∴∠ACM =∠ABC.

（2）∵BC = CD，BO = OA，∴OC∥AD.

又∵OC⊥CE. ∴AD⊥CE. ∴ΔAEC是直角三角形. ∴ΔAEC的外接圆的直径为AC.

又∵∠ABC＋∠BAC= 90°，∠ACM＋∠ECD = 90°，∠ABC =∠ACM，∴∠BAC =∠ECD.

又∵∠CED =∠ACB = 90°，∴ΔABC∽ΔCDE. ∴.

∵⊙O的半径为3，ED = 2，∴AB = 6. ∴，解得.

∴在RtΔABC中，.

∴ ΔAEC的外接圆的半径为.

考点：1. 圆周角定理；2.切线的性质；3.等腰三角形的性质；4.三角形中位线定理；5.直角三角形斜边上中线的性质；6.相似三角形的判定和性质；7.勾股定理.