Question

如图，已知反比例函数（x > 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），其中m＞1， AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．

（1）写出反比例函数解析式；

（2）求证：∆ACB∽∆NOM；

（3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3），.

【解析】

试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将点A的坐标代入即可求出k，从而得到反比例函数解析式.

（2）由于∠ACB =∠NOM = 90°，所以要证ΔACB∽ΔNOM，只要即可，由已知分别求出和，证明它们相等即可.

（3）由ΔACB与ΔNOM的相似比为2，根据（2）相似比为，列式求解即可得到点B的坐标，从而应用待定系数法即可求得AB所在直线的解析式.

试题解析：（1）∵的图象经过点A（1,4），∴.

∴反比例函数解析式为.

（2）∵ B（m，n），A（1，4），∴AC = 4–n，BC = m–1，ON = n，OM = 1.

∴.

∵点B（m，n）在上，∴. ∴.

又∵ . ∴.

又∵∠ACB =∠NOM = 90°，∴ ΔACB∽ΔNOM..

（3）∵ ΔACB与ΔNOM的相似比为2，∴m–1 = 2. ∴m = 3.

∴B点坐标为.

设AB所在直线的解析式为y = kx＋b，

∴ ，解得.

∴AB所在直线的解析式为.

考点：1.反比例函数和一次函数综合题；2. 待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质.