Question

如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：

①∠AEF=∠BCE；

②AF+BC＞CF；

③S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE；

④若=，则△CEF≌△CDF．

其中正确的结论是　    　．（填写所有正确结论的序号）

Answer

①③④

【解析】

试题分析：∵EF⊥EC，

∴∠AEF+∠BEC=90°，

∵∠BEC+∠BCE=90°，

∴∠AEF=∠BCE，故①正确；

又∵∠A=∠B=90°，

∴△AEF∽△BCE，

∴，

∵点E是AB的中点，

∴AE=BE，

∴，

又∵∠A=∠CEF=90°，

∴△AEF∽△ECF，

∴∠AFE=∠EFC，

过点E作EH⊥FC于H，

则AE=DH，

在Rt△AEF和Rt△HEF中，

，

∴Rt△AEF≌Rt△HEF（HL），

∴AF=FH，

同理可得△BCE≌△HCE，

∴BC=CH，

∴AF+BC=CF，故②错误；

∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，

∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确；

若，则tan∠BCE=，

∴∠BEC=60°，

∴∠BCE=30°

∴∠DCF=∠ECF=30°，

又∵∠D=∠CEF, CF=CF

∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，

综上所述，正确的结论是①③④．

故答案为：①③④．

考点：1、矩形的性质；2、全等三角形；3、三角函数；4、相似三角形