Question

设，是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式≤≤的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为. 对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当m≤≤n时，有m≤≤n，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”.

（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的表达式；

（3）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，直接写出实数， 的值.

Answer

（1）是，理由见解析；（2）y=x或；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）根据反比例函数的单调区间进行判断.

（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组或，通过解该方程组即可求得系数k、b的值.

（3）因为，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；根据新定义运算法则分三种情况列出关于系数a、b的方程组，解方程组即可求得a、b的值.

（1）反比例函数是闭区间[1，2014]上的“闭函数”. 理由如下：

∵反比例函数在第一象限，y随x的增大而减小，且

当x=1时，y=2014；当x=2014时，y=1，

∴当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014，符合闭函数的定义，故反比例函数是闭区间[1，2014]上的“闭函数”.

（2）分两种情况：k＞0或k＜0．

①当k＞0时，一次函数的图象是y随x的增大而增大，根据“闭函数”的定义得，

，解得.

∴此函数的解析式是y=x.

②当k＜0时，一次函数的图象是y随x的增大而减小，根据“闭函数”的定义得，

，解得.

∴此函数的解析式是.

（3）∵，

∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大.

①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义得，

，解得，（不合题意，舍去）或.

②当a＜2＜b时，此时二次函数的最小值是=a，根据“闭函数”的定义得

或.

a）当时，由于，不合题意，舍去；

b）当时，解得，

∵b＞2，∴.

③当a≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义得，

，解得，.

∵＜0，∴舍去.

综上所述，或.

考点：1.新定义；2.反比例函数、一次函数和二次函数的性质；3.解二元方程组；4.分类思想的应用.