Question

已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．

（1）如图l，求证：∠EAF＝∠ABD；

（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，请你判断线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．

Answer

（1）证明见解析；（2）FM=FN ，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接FE、FC，先证△ABF、△CBF全等，得∠FEC=∠BAF，通过四边形ABEF与三角形AEF内角和导出.

（2）先由△AFG∽△BFA，推出∠AGF=∠BAF，再得BG=MG，通过△AGF∽△DGA，导出GD=a. FD=a，过点F作FQ∥ED交AE于Q，通过BE∥AD得线段成比例，设EG=2k，BG=MG=3k，GQ=EG=，MQ=3k+=，，从而FM=FN.

（1）如图，连接FE、FC，

∵点F在线段EC的垂直平分线上，∴FE=FC. ∴∠l=∠2.

∵△ABD和△CBD关于直线BD对称，∴AB=CB，∠4=∠3， BF=BF.

∴△ABF≌△CBF（SAS）. ∴∠BAF=∠2，FA=FC.

∴FE=FA，∠1=∠BAF. ∴∠5=∠6 .

∵ ∠l+∠BEF=1800，∴∠BAF+∠BEF=1800.

∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600，∴∠AFE+∠ABE=1800.

又∵∠AFE+∠5+∠6=1800 ，∴∠5+∠6=∠3+∠4.

∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD.

（2）FM=FN ，证明如下：

如图，由（1）可知∠EAF=∠ABD，

又∵∠AFB=∠GFA，∴△AFG∽△BFA. ∴∠AGF=∠BAF。

又∵∠MBF=∠BAF．∠MBF=∠AGF，∠AGF=∠MBG+∠BMG，∴∠MBG=∠BMG.∴BG=MG.

∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=∠EAF.

∵∠FGA=∠AGD，∴△AGF∽△DGA. ∴.

∵AF=AD，∴.

设GF=2a ，AG=3a，则GD=a. ∴FD=a.

∵∠CBD=∠ABD， ∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB. ∴BE∥AD.

∴. ∴.

设EG=2k，∴BG=MG=3k.

过点F作FQ∥ED交AE于Q，

∴.∴.

∴GQ=EG=，MQ=3k+=. ∴.

∵FQ∥ED，∴. ∴FM=FN.

考点：1.轴对称问题;2.线段垂直平分线的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等腰三角形的性质；5.三角形内角和定理；6.相似三角形的判定和性质；7.平行的判定和性质；8.待定系数法的应用.