Question

如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．

（1）在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；

（2）若直线MN上存在点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出PA的长度．

Answer

（1）作图见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，分别得出对称点画出即可.

（2）根据应用轴对称求最短线路问题的作法，作点A关于MN的对称点，A1，连接A1B交MN于点P，此时PA＋PB的值最小，建立如图的直角坐标系，求出点P的坐标，应用勾股定理即可求得PA的长度．

（1）作图如下：

（2）根据应用轴对称求最短线路问题的作法，作点A关于MN的对称点，A1，连接A1B交MN于点P，此时PA＋PB的值最小.

如图，建立直角坐标系，则直线MN的解析式为，A1，B的坐标分别为（0，2），（4，1），应用待定系数法可得A1B的解析式为.

联立，即P.

由勾股定理，得.

考点：1. 利用轴对称设计图案；2.轴对称的应用（最短线路问题）；3. 直角坐标系的建立；4. 待定系数法的应用；5.直线上点的坐标与方程的关系；6.勾股定理．