Question

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD交于点F，AE＝AB.

（1）若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.

（2）若AB＝10，BE＝2EC，求EF的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）4.

【解析】

试题分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠ABE=∠AEB，再根据等角对等边求出AD=AB，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．

（2）由AD∥BC得到△AFD∽△EFB，根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可.

（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.

∵AE=AB， ∴∠ABE=∠AEB.

∵∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠DBC.

∵∠ABE=∠ABD+∠DBC，∴∠ABD=∠ADB. ∴AD=AB..

∴四边形ABCD是菱形.

（2）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴△AFD∽△EFB.∴.

∵AD=BC，BE=2EC，∴.

∵AE=AB=10，∴.

∴.

考点：1.平行四边形的性质；2.等腰三角形的判定和性质；3菱形的判定；4.相似三角形的判定和性质．