Question

抛物线与轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为.

（1）求抛物线对应的函数表达式；]

（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M落在线段BC上，记该抛物线为G，求抛物线G所对应的函数表达式；

（3）将线段BC平移得到线段（B的对应点为，C的对应点为），使其经过（2）中所得抛物线G的顶点M，且与抛物线G另有一个交点N，求点到直线的距离的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，将B 代入求出k即可.

（2）应用待定系数法求出直线BC的解析式，将对称轴的代入BC的解析式求得抛物线G的顶点坐标，从而得到抛物线G所对应的函数表达式.

（3）连接，过点作于点H，由知当最大时h最大，当最小时h最小.，即当与M重合时，最大，h最大；当与M重合时，最小，h最小，据此求解即可.

试题解析：（1）将B 代入得，解得.

∴抛物线对应的函数表达式为.

（2）由题意得，B（3，0），C（）.

∴直线BC的解析式为.

由（1）得，

∵将的图象向上平移时，横坐标不变，

∴将代入得.

∴抛物线G的顶点坐标为。

∴抛物线G所对应的函数表达式为，即.

（3）如图1，连接，过点作于点H，

∵，

∴当最大时h最大，当最小时h最小.

由图1可知当与M重合时，最大，h最大.

此时，，即，∴.

由图2可知当与M重合时，最小，h最小.

此时，，即，

此时，，∴.

综上所述，.

考点：1.二次函数综合题；2.平移的性质；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.三角形的面积；7.转换思想的应用.