Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线，交AB延长线于点E，交AC于点F．

（1）求证：OD∥AC；

（2）当AB=10，时，求AF及BE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）若要证明OD∥AC，则可转化为证明∠C=∠ODB即可.

（2）连接AD，首先利用已知条件可求出BD的长，再证明△ADC∽△AFD，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AF及BE的长．

试题解析：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.∴∠C=∠ODB.

∴OD∥AC.

（2）如图，连接AD，

∵AB为直径，∴AB⊥BD.∴∠ADC=90°.

∵AB=10，，∴BD=AB•cos∠ABC=.∴AD=.

∵DF是圆的切线，∴OD⊥DF.∴∠ODF=90°.

∵AC∥OD，∴∠AFD=90°.

∵∠ADC=∠AFD，∠DAF=∠CAD，∴△ADC∽△AFD，

∴，即，解得AF=8.

∵OD∥AF，∴，即.

∴BE=．

考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定和性质；3.平行线的判定和性质；4.圆周角定理．