Question

在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．

（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；

（2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；

（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．

Answer

（1）30°；（2）30°；（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°.

【解析】

试题分析：（1）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，旋转角为α，α=60°时△ACD是等边三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度数，进而求得∠CBD的大小.

（2）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，连结DF、BF．AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°，∠ACD=20°，由∠DCB=20°案．依次证明△DCB≌△FCB，△DAB≌△DAF．利用角度相等可以得到答案．

（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，求得答案．

试题解析：（1）30°；（2）30°；

（2）如图作等边△AFC，连结DF、BF．

∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°．

∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠BCA=40°．

∵∠ACD=20°，∴∠DCB=20°．

∴∠DCB=∠FCB=20°．①

∵AC=CD，AC=FC，∴DC=FC．②

∵BC=BC，③

∴由①②③，得△DCB≌△FCB，

∴DB=BF，∠DBC=∠FBC．

∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，∴∠BAF=40°．

∵∠ACD=20°，AC=CD，∴∠CAD=80°．∴∠DAF=20°．

∴∠BAD=∠FAD=20°．④

∵AB=AC，AC=AF，∴AB=AF．⑤

∵AD=AD，⑥

∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．∴FD=BD．∴FD=BD=FB．∴∠DBF=60°．∴∠CBD=30°．

（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°．

考点：1.全等三角形的判定和性质；2.等边三角形的判定和性质．