Question

阅读下面材料：

在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？

小明发现：若∠ABC=60°，

①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_________；

②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长_________（填“改变”或“不变”）.

请帮助小明解决下面问题：

如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．

（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为_________；

（2）如图4，若∠ABC的大小为，则六边形AEFCHG的周长可表示为________．

Answer

①6；②不变；（1）；（2）．

【解析】

试题分析：①根据折叠方法得到六边形AEFCHG是边长为2的正六边形，从而提出结论.

②根据相似三角形的判定和性质可得结论.

（1）当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长不变，与重合点在菱形的对称中心O处时相同，从而解三角形可得结论.

（2）同（1）.

试题解析：①根据折叠方法得到六边形AEFCHG是边长为2的正六边形，从而提出结论.

②根据相似三角形的判定和性质可知当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长不变.

（1）由①②知，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长不变，与重合点在菱形的对称中心O处时相同，故作出图形如图，可得AE=AH=CF=CG=1，EF=HG=，所以六边形AEFCHG的周长为.

（2）同（1），可得AE=AH=CF=CG=1，EF=HG=，所以六边形AEFCHG的周长为.

考点：1.阅读理解和实践操作题；2．折叠对称的性质；3.菱形的性质；4．锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值.