Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点， DFAC于F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若，CF=9，求AE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）7．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，AD，求出OD∥AC，推出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可.

（2）求出CD、DF，推出四边形DMEF和四边形OMEN是矩形，推出OM=EN，EM=DF=12，求出OM，即可求出答案．

试题解析：（1）连接OD，AD，

∵AB是⊙的直径，∴∠ADB=90°.

又∵AB=AC，∴BD=CD.

又∵OB=OA，∴OD∥AC.

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.

又∵OD为⊙的半径，∴DF为⊙O的切线．

（2）连接BE交OD于M，过O作ON⊥AE于N，则AE=2NE，

∵，CF=9，∴DC=15．∴.

∵AB是直径，∴∠AEB=∠CEB=90°.

∵DF⊥AC，OD⊥DF，∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°.∴四边形DMEF是矩形.

∴EM=DF=12，∠DME=90°，DM=EF.即OD⊥BE.

同理四边形OMEN是矩形，∴OM=EN.

∵OD为半径，∴BE=2EM=24.

∵∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C，∴△CFD∽△CEB.

∴，即.

∴EF=9=DM.

设⊙O的半径为R，

则在Rt△EMO中，由勾股定理得：，解得：.

则EN=OM=.

∴AE=2EN=7．

考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.矩形的性质和判定；4.切线的判定；5.平行线的性质的应用.