Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90º，∠ABC=30º，BC=，以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD，连接BD．

（1）求四边形ABCD的面积；

（2）求BD的长．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先解直角△ABC，得出AC=2，AB=4，则△ABC的面积=AC•BC=，再过点D作DE⊥AC于E，解直角△ADE，得出DE=，则△ACD的面积=AC•DE=，则根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积求解.

（2）过点D作DF⊥AB于F．先求出∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°，再解直角△ADF，得出AF=1，DF=

，则BF=AF+AB=5，然后在直角△BDF中运用勾股定理即可求出BD的长度．

试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，

∴AC=2，AB=4．

∴△ABC的面积=AC•BC=×2×=．

∵△ACD为等边三角形，

∴AD=AC=2，∠DAC=60°．

过点D作DE⊥AC于E．

在△ADE中，∵∠AED=90°，∠DAE=60°，AD=2，

∴.

∴△ACD的面积=AC•DE=×2×=.

∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=.

（2）过点D作DF⊥AB于F．

∵∠BAC=60°，∠DAC=60°，

∴∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°．

在△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=60°，AD=2，

∴AF=1，DF=.

∴BF=AF+AB=1+4=5，

∴.

考点：1.解直角三角形；2.等边三角形的性质；3.勾股定理．