Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(，0)，点B(0，2)，点C是线段OA的中点．

（1）点P是直线AB上的一个动点，当PC+PO的值最小时，

①画出符合要求的点P（保留作图痕迹）；

②求出点P的坐标及PC+PO的最小值；

（2）当经过点O、C的抛物线y=ax²+bx+c与直线AB只有一个公共点时，求a的值并指出这个公共点所在象限．

Answer

（1）①作图见解析；②（，1）；（2）当时，公共点在第三象限， 当时，公共点在第二象限．

【解析】

试题分析：（1）①根据轴对称的性质，作点C关于直线AB的对称点D，连接OD，OD与直线AB的交点P 即为所求.

②应用待定系数法求出直线AB和直线OD的表达式，联立二者即为所求.

（2）根据抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点O、C，得出解析式为，根据抛物线与直线只有一个公共点得到的根的差别式等于0，从而求得a的值，进而求得交点坐标，判断出其所在象限.

（1）①如图1．

②如图2，作DF⊥OA于点F，根据题意，得AC=CO=，∠BAO=30°，CE=DE，

∴ CD=，CF=，DF=．∴ D（，）．

求得直线AB的表达式为，直线OD的表达式为，

∴ P（，1）．

在△DFO中，可求得 DO=3．∴PC+PO的最小值为3．

（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点O、C，

∴．

由题意，得 ．

整理，得 ．

∵．∴．

当时，公共点在第三象限， 当时，公共点在第二象限．

考点：1.一次函数和二次函数综合题；2.动点问题；3.轴对称的应用（最短线路问题）；4．待定系数法的应用，5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.含30度角直角三角形的性质；7.一元二次方程根的判别式的应用；8．平面直角坐标系中各象限点的特征.