Question

在△ABC中，CA＝CB，在△AED中， DA＝DE，点D、E分别在CA、AB上．

（1）如图①，若∠ACB＝∠ADE＝90°，则CD与BE的数量关系是     ；

（2）若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是     ；，

（3）若∠ACB＝∠ADE＝2α（0°< α < 90°），将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明(用含α的式子表示)．

Answer

（1）BE＝CD；（2）BE＝CD；（3）BE=2CD·sinα，证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知，△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，所以有AE=AD，AB=AC，从而有，即BE＝CD.

（2）如图，分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，

∵CA＝CB，DA＝DE，∠ACB＝∠ADE=120°，

∴∠CAB＝∠DAE，∠ACM＝∠ADN=60° ，AM=AB，AN=AE．

∴∠CAD＝∠BAE．

在Rt△ACM和Rt△ADN中，sin∠ACM==，sin∠ADN==，

∴．∴．

又∵∠CAD＝∠BAE，∴△BAE∽△CAD．∴.∴BE＝CD．

（3）根据等腰三角形的性质和锐角三角函数定义求得，再由△BAE∽△CAD得出，从而得出结论.

（1）BE＝CD.

（2）BE＝CD.

（3）BE=2CD·sinα．证明如下：

如图，分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，

∵CA＝CB，DA＝DE，∠ACB＝∠ADE=2α ，

∴∠CAB＝∠DAE，∠ACM＝∠ADN=α ，AM=AB，AN=AE．

∴∠CAD＝∠BAE．

在Rt△ACM和Rt△ADN中，sin∠ACM=，sin∠ADN=，

∴．∴．

又∵∠CAD＝∠BAE，∴△BAE∽△CAD．∴.

∴BE=2DC·sinα．

考点：1.旋转问题；2．等腰（直角）三角形的性质；3.锐角三角函数定义；4.相似三角形的判定和性质.