Question

图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．

（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD=     ；

（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：

①∠FCD的最大度数为     ；   

②当FC∥AB时，AD=     ；

③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD=     ;

④△FCD的面积s的取值范围是     .

Answer

（1）2；（2）① 60°；② ；③ ；④.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.

（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.

②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.

③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.

④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.

试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.

∵CD=10，∴AD=2.

（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.

∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴ ∠FCD的最大度数=∠DEF=60°.

② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，

∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.

∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH=45°. ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.

∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，

由②知DH=3，FH=，则HC=.

在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.

∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，

∴，即，解得.

④设AD=x，易知，即.

而，

当时，；当时，.

∴△FCD的面积s的取值范围是.

考点：1.面动平移问题；2. 等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4. 含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.