Question

如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC.

（1）求证：AP与⊙O相切；

（2）如果AC=3，求PD的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OA，求出∠AOC，求出∠ACP，得出∠P，求出∠AOD，推出∠PAO=90°，根据切线判定推出即可.

（2）根据∠ACD=30°，AC=3求出DC，求出半径，在Rt△PAO中根据勾股定理求出即可．

试题解析：（1）如图，连接OA，

∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°.

∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°.∴∠AOP=60°.

又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°.

∴∠OAP=90°，即OA⊥AP.

∵点O在⊙O上，∴AP是⊙O的切线．

（2）如图，连接AD，

∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°.

∴AD=AC∙tan30°=，CD=2AD=2.

∴DO=AO=CD=.

在Rt△PAO中，由勾股定理得：，

∴.

∵PD的值为正数，

∴PD=.

考点：1.切线的性质和判定；2.圆周角定理；3.等腰三角形的性质和判定.