Question

已知：如图， AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，联结OD , 作BE∥OD交⊙O于点E, 联结DE并延长交BN于点C．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）4．

【解析】

试题分析：（1）连接OE，由OE=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由OD与BE平行，得到一对同位角及一对内错角相等，等量代换得到∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD，再由OA=OE，OD=OD，利用SAS得到三角形AOD与三角形EOD全等，由全等三角形对应角相等得到∠OAD=∠OED，根据AM为圆O的切线，利用切线的性质得到∠OAD=∠OED=90°，即可得证．

（2）过点D作BC的垂线，垂足为H，由BN与圆O切线于点B，得到∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD，利用三个角为直角的四边形为矩形得到ADHB为矩形，利用矩形的对边相等得到BH=AD=1，AB=DH，由BC-BH求出HC的长，AD、CB、CD分别切⊙O于点A、B、E，利用切线长定理得到AD=DE=1，EC=BC=4，在直角三角形DHC中，利用勾股定理求出DH的长，即为AB的长．

试题解析：（1）如图，连接OE，

在⊙O中，OA=OE=OB，∴∠OBE=∠OEB．

∵OD∥BE，∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD．

在△AOD和△EOD中，OA＝OE，∠AOD＝∠EOD，OD＝OD，

∴△AOD≌△EOD（SAS）．∴∠OAD=∠OED．

∵AM是⊙O的切线，切点为A，∴BA⊥AM．

∴∠OAD=∠OED=90°．∴OE⊥DE．

∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．

（2）如图，过点D作BC的垂线，垂足为H，

∵BN切⊙O于点B，∴∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD．∴四边形ABHD是矩形．

∴AD=BH=1，AB=DH，∴CH=BC-BH=4-1=3．

∵AD、CB、CD分别切⊙O于点A、B、E，∴AD=ED=1，BC=CE=4．

∴DC=DE+CE=1+4=5，

在Rt△DHC中，，

∴．

考点：1．切线的判定和性质；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理，4．等腰三角形的性质；5．平行的性质；6．矩形的判定和性质．