Question

如图，经过原点的抛物线y=-x²+bx（b＞2）与x轴的另一交点为A，过点P（1，）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．连结CB，CP．

（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；

（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；

（3）当b=6时，如图2，将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△CB′P′，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B′P′（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围．

Answer

（1）（4，0），2；（2）3；（3）4-≤EM≤3．

【解析】

试题分析：（1）利用抛物线y=-x2+4x，求出点A的坐标及BC的长，

（2）过点C作CD⊥x轴于点D，利用△CBP∽△CDA，求出b的值．

（3）利用抛物线y=-x2+6x，求出BC，PC及EP的长，再分两种情况①当BC在CP上时，且M点与B′点重合时线段EM最短，②当BC在PC延长线上时，且M点与P′点重合时线段EM最长，求出线段EM长度的取值范围．

试题解析：（1）∵b=4，

∴抛物线y=-x2+4x，

在y=-x2+4中，

令y=0，得-x2+4x=0，

∴x1=0，x2=4

∴A（4，0）

令x=1，得y=3

∴B（1，3）

∵对称轴x=-=2

∴C（3，3）

∴BC=2

（2）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵∠BCP+∠PCD=90°，∠DCA+∠PCD=90°，

∴∠BCP=∠DCA，

又∵∠CBP=∠CDA=90°

∴△CBP∽△CDA

∴

在y=-x2+bx中，

令x=1，则y=b-1

∴B（1，b-1）

又∵对称轴x=-，

∴BC=2（-1）=b-2，

∴C（b-1，b-1），

∴CD=b-1，BC=b-2，DA=ON=1，BP=b-1-=-1，

∴，

∴b=3．

（3）∵b=6，

∴抛物线y=-x2+6x

在y=-x2+6x中，

令x=1，得y=5

∴B（1，5）

∵对称轴x=

∴C（5，5）

∴BC=4，

∵P（1，），

∴P（1，3），

∴BP=5-3=2，

∴PC=

∵CP与抛物线对称轴的交点为E，

∴EP=EC=PC=，

①如图2，当BC在CP上时，且M点与B′点重合时线段EM最短，

∴EM=EP-（PC-BC）=-（2-4）=4-．

②如图3，当BC在PC延长线上时，且M点与P′点重合时线段EM最长，

EM=EC+P′C=+2=3．

∴4-≤EM≤3．

考点：二次函数综合题．