Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．

（1）线段BE与AF的位置关系是　        　，=　　．

（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD=6-2，求旋转角a的度数．

Answer

(1) 线段BE与AF的位置关系是互相垂直；；(2) （1）中结论仍然成立．证明见解析；（3）135°．

【解析】

试题分析：（1）结合已知角度以及利用锐角三角函数关系求出AB的长，进而得出答案；

（2）利用已知得出△BEC∽△AFC，进而得出∠1=∠2，即可得出答案；

（3）过点D作DH⊥BC于H，则DB=4-（6-2）=2-2，进而得出BH=-1，DH=3-，求出CH=BH，得出∠DCA=45°，进而得出答案．

试题解析：（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；

∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，

∴AC=2，

∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，

∴=；

（2）（1）中结论仍然成立．

证明：如图2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，

∴EC=BC，FC=AC，

∴，

∵∠BCE=∠ACF=α，

∴△BEC∽△AFC，

∴，

∴∠1=∠2，

延长BE交AC于点O，交AF于点M

∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2

∴∠BCO=∠AMO=90°

∴BE⊥AF；

（3）如图3，

∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°

∴AB=4，∠B=60°

过点D作DH⊥BC于H

∴DB=4-（6-2）=2-2，

∴BH=-1，DH=3-，

又∵CH=2-（-1）=3-，

∴CH=BH，

∴∠HCD=45°，

∴∠DCA=45°，

∴α=180°-45°=135°．

考点：几何变换综合题．