Question

如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD²=CA•CB；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）5.

【解析】

试题分析：（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；

（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明OD⊥CD即可；

（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．

试题解析：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，

∴△ADC∽△DBC，

∴，即CD2=CA•CB；

（2）证明：如图，连接OD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠3=90°．

∵OA=OD，

∴∠2=∠3，

∴∠1+∠2=90°．

又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，

∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD．

又∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（3）【解析】
如图，连接OE．

∵EB、CD均为⊙O的切线，

∴ED=EB，OE⊥DB，

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，

∴∠ABD=∠OEB，

∴∠CDA=∠OEB．

而tan∠CDA=，

∴tan∠OEB=，

∵∠ODC=∠EBC=90°，∠C=∠C，

∴Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴，

∴CD=8，

在Rt△CBE中，设BE=x，

∴（x+8）2=x2+122，

解得x=5．

即BE的长为5．

考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质．