Question

已知:a、b、c为△ABC的三边,且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴,试判断△ABC的形状.

解:∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴,①

∴c²(a²-b²)=(a²+b²)(a²-b²).②

∴c²=a²+b².③

∴△ABC是直角三角形.

问:

(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: ______________;

(2)错误的原因为________________________________;

(3)本题正确的解题过程:

Answer

(1)③ (2)除式可能为零

(3)∵a2c2-b2c2=a4-b4,

∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).

∴a2-b2=0或c2=a2+b2.

当a2-b2=0时，a=b；

当c2=a2+b2时，∠C=90度,

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

【解析】(1)(2)两边都除以a2-b2,而a2-b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立.

(3)根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论.