Question

如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交OA于点N．

（1）当时，求的值；

（2）设OM=x，ON=y，当时，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长．

Answer

（1）；（2）；（3）或 .

【解析】

试题分析：（1）由△MFO∽△NFE和，根据相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义， 即可求得结果.

（2）由△MFO∽△NFE和△ODF∽△EOF可得，即，从而根据勾股定理可得出，即.

（3）分或两种情况讨论即可.

（1）由题意，得：∠MOF+∠FOE=90°，∠FEN+∠FOE=90° ， ∴∠MOF=∠FEN ．

由题意，得：∠MFO+∠OFN=90°，∠EFN+∠OFN=90° ， ∴∠MFO=∠NFE.

∴△MFO∽△NFE．∴.

由∠FEN=∠MOF可得：， ∴, ∴．

（2）∵△MFO∽△NFE , ∴.

又易证得：△ODF∽△EOF ， ∴．

∴， ∴．

如图，连接MN，则.

由题意，得四边形ODCE为矩形，∴DE=OC=4 .∴MN=2.

在Rt△MON中，,即.

∴y关于x 的函数解析式为 ．

（3）由题意，可得： OE=2y，CE=OD=2x.

∴由题意，可得： ， ∴.

∵又，∴，∴.

由题意，可得：∠NOF=∠FEC ，

∴由△ECF与△OFN相似，可得：或.

当时，，∴.

又，∴，解得：（舍去）.

∴.

②当时，，∴，

又，∴，∴解得：（舍去）

∴.

综上所述，OD=或 .

考点：1.双动点问题；2.矩形的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.由实际问题列函数关系式；5.勾股定理；6.锐角三角函数定义；7.分类思想的应用.