Question

如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，交CB的延长线于点F，联结DF，分别交AE、AB于点G、P.

（1）求证：AE=AF；

（2）若∠BAF=∠BFD,求证：四边形APED是矩形.

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

试题分析：

（1）若要证明AE=AF，则可证明以上两条线段所在的三角形全等即可；

（2）利用正方形的性质以及垂直定义得出∠1=∠3=∠4=∠5，进而利用全等三角形的判定与性质得出AP=DE，进而利用平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．

试题解析：

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADE=∠ABC=∠DAB=90°，AD=AB，AD∥BC，AB∥CD，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF=90°，

∴∠DAE=∠BAF，

在△ADE和△ABF中，

∠DAE＝∠BAF ，AD＝AB ，∠ADE＝∠ABF＝90°，

∴△ADE≌△ABF（ASA），

∴AF=AE；

（2）∵AF⊥AE，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵AD∥FC，

∴∠4=∠5，

∵∠1=∠5，

∴∠1=∠3=∠4=∠5，

在△ADE和△DAP中，

∠3＝∠4 ，AD＝AD ，∠ADE＝∠DAP ，

∴△ADE≌△DAP（ASA），

∴AP=DE，

又∵AP∥DE，

∴四边形APED是平行四边形，

∵∠PAD=90°，

∴平行四边形APED是矩形．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．