Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=2，sinB=，过点C在∠BCD的内部作射线交射线BA于点E，使得∠DCE=∠B．

（1）如图1，当ABCD为等腰梯形时，求AB的长；

（2）当点E与点A重合时（如图2），求AB的长；

（3）当△BCE为直角三角形时，求AB的长．

Answer

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）作AM∥DC交BC于点M，AH⊥BC于点H，AD=1，BC=2，sinB=，得到AM=AB，BH=HM=，结合三角函数的定义可以求得AB的长．

（2））由AD∥BC得到∠DAC=∠ACB，又∵∠DCE=∠B，∴△ADC∽△CAB，得到AC2=AD•BC，求得AC的长度，结合勾股定理，即可构造出关于AB的方程，解方程即可求得相应的AB的长度．

（3）分两种情况来讨论：如图3-1，当BE⊥CE时，∵∠DCE=∠B，∠B+∠BCE=90°，∴∠DCE+∠BCE=90°，作AH⊥BC，则HC=AD=1，∴BH=BC-HC=2-1=1，由sinB即可求得cosB的值，继而求得AB的长度；如图3-2，当BC⊥CE时，延长DA交CE的延长线于点F，由△FDC∽△CEB，可以得到AE的长度，继而求得AB的长度．

试题解析：（1）如图1，作AM∥DC交BC于点M，作AH⊥BC于点H，

∵AD∥BC，∴AMCD为平行四边形，

∴AM=DC，MC=AD=1，

∴BM=BC-MC=2-1=1，

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴AB=DC，∴AB=AM，∴BH=HM=

在直角三角形ABH中，

∵sinB=，

∴cosB=，∵，∴．

（2）如图2，∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

又∵∠DCE=∠B，

∴△ADC∽△CAB，

∴，

∴AC2=AD•BC=2，

作AF⊥BC于点F，

设AB=x，∵sinB=，

∴AF=，BF=，

∴CF=2-，

在直角三角形AFC中，AF2+CF2=AC2，即：，

∴，

即当点A与点E重合时，AB=，或者AB=．

（3）∵△BCE为直角三角形，

∴BE⊥CE或BC⊥CE，

情况一，当BE⊥CE时，如图3-1，

∵∠DCE=∠B，∠B+∠BCE=90°，

∴∠DCE+∠BCE=90°，

作AH⊥BC，则HC=AD=1，

∴BH=BC-HC=2-1=1，

又由sinB=可得，cosB=，

解得：AB=．

情况二，当BC⊥CE时，如图3-2，

延长DA交CE的延长线于点F，设AE=a，则AF=，EF=，

在直角三角形BCE中，

∵BC=2，sinB=，

∴BE=，EC=，

∵AD∥BC，BC⊥CE，

∴AD⊥EC，

又∵∠DCE=∠B，

∴△FDC∽△CEB，

∴，即DC·BC=FC·CE，

∴，

∴．

∴

∴当△BCE为直角三角形时，AB=或AB=．

考点：相似形综合题．