Question

如图，直线y=4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）过点B、C，且与x轴另一个交点为A，以OC、OA为边作矩形OADC，CD交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式以及点A的坐标；

（2）已知直线x=m交OA于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线（CD上方部分）于点P，请用含m的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，联结PC，若△PCF和△AEM相似，求m的值．

Answer

（1）y=-x2+x+4，（3，0）；（2）PM=-m2+4m（0＜m＜3）；（3）或1．

【解析】

试题分析：（1）根据直线的解析式易求B，C的坐标将，再把其坐标分别代入y=ax2-2ax+c，即可求出抛物线的解析式，设y=0，解方程即可求出A的坐标；

（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；

（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值．

试题解析：（1）∵直线y=4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点，

∴C坐标为（0，4），

设y=0，则x=-1，

∴B坐标为（-1，0），

∵抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）过点B、C，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4，

设y=0，0=-x2+x+4，

解得：x=-1或3，

∴A的坐标为：（3，0）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵A（3，0），点C（0，4），

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=-x+4．

∵点M的横坐标为m，点M在AC上，

∴M点的坐标为（m，-m+4），

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=-x2+x+4上，

∴点P的坐标为（m，-m2+m+4），

∴PM=PE-ME=（-m2+m+4）-（-m+4）=-m2+4m，

即PM=-m2+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：

由题意，可得AE=3-m，EM=-m+4，CF=m，PF=-m2+m+4-4=-m2+m．

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：

①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，

即（-m2+m）：（3-m）=m：（-m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=．

②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，

即m：（3-m）=（-m2+m）：（-m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=1．

综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1．

考点：二次函数综合题．