Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：

①△ABD是正三角形；②若AF=2DF，则EG=2DG；③△AED≌△DFB；④S_{四边形BCDG}=CG²；

其中正确的结论是　　．

Answer

①③④.

【解析】

试题分析：

①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．

∵AB=BD，

∴△ABD为等边三角形．

故本小题正确；

②过点F作FP∥AE于P点，

DP：PE=DF：DA=1：2，

而点G与点P不重合，否则与与原题矛盾，

所以EG=2DG错误；

③∵△ABD为等边三角形．

∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE=DF，AD=BD，

∴△AED≌△DFB，故本小题正确；

④∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，

即∠BGD+∠BCD=180°，

∴点B、C、D、G四点共圆，

∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．

∴∠BGC=∠DGC=60°．

过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．

则△CBM≌△CDN，（AAS）

∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．

S四边形CMGN=2S△CMG，

∵∠CGM=60°，

∴GM=CG，CM=CG，

∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2，故本小题正确；

综上所述，正确的结论有①③④．

故答案为：①③④．

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质．