Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．

（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．

Answer

（1） （2）15 （3）0＜t≤或＜t≤5

【解析】

【解析】
（1）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB==10，
∴cos∠BAO=，sin∠BAO=．
∵AC为⊙P的直径，
∴△ACD为直角三角形．
∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=t．
当点Q与点D重合时，OQ+AD=OA，
即：t+t=8，
解得：t=．
∴t=（秒）时，点Q与点D重合．

（2）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×t．
①当0＜t≤时，
DQ=OA-OQ-AD=8-t-t=8-t．
∴S=DQ•CD=（8-t）•t=-t2+t．
∵-=，0＜＜，
∴当t=时，S有最大值为；
②当＜t≤5时，
DQ=OQ+AD-OA=t+t-8=t-8．
∴S=DQ•CD=（t-8）•t=t2-t．
∵-=，＜，所以S随t的增大而增大，
∴当t=5时，S有最大值为15＞．
综上所述，S的最大值为15．

（3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB，
∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，
∴△ACQ∽△AOB，
∴，，
解得t=．
所以，⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为0＜t≤或＜t≤5．