Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点P为BC边上一点，把△PBD沿PD翻拆，点B落在点E处，设PE交AC于F，连接CD

(1)求证：△PCF的周长=CD；

(2)设DE交AC于G，若，CD=6，求FG的长

Answer

（1）证明见解析；（2）FG的长为．

【解析】

试题分析：.(1)连接CE，根据三角形的角边关系可以得到∠FCE=∠FEC，从而FC=FE，△PCF的周长＝CD；

(2) 由.(1)结论CP+PF+CF=CD，和，CD=6，求出CF=EF=，作GK⊥EF于点K，易得FG的长为．

试题解析：.(1)连接CE，

∵CA=CB,D为AB中点，

∴∠BCD=∠ACD=45°，

由翻折可知∠B=∠DEP=45°，

∴∠DCF=∠DEF=45°，

CD=BD=DE，

∴∠DCE=∠DEC，

∴∠DCE-∠DCA=∠DEC-∠DEF，

即∠FCE=∠FEC，

∴FC=FE，

∴CF+PF=PE=BP，

∴CP+PF+CF=BC=CD，

∴△PCF的周长＝CD；

(2)∵，

∴设PF=5x,EF=CF=3x，

在Rt△FCP中,PF2=CP2+CF2，

∴CP=4x，

∵CP+PF+CF=CD，

∴4x+5x+3x=6，

x=，

CF=EF=3x=，

作GK⊥EF于点K，

∵tan∠GFE=tan∠PFC==，

设GK=4a,FK=3a,EK=4a，

∴EF=7a=，

a=，

FG=5a=，

∴FG的长为．

考点：三角形综合．