Question

在△ABC中,AB＝BC＝2,∠ABC＝120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角(0°＜α＜90°)得△A₁BC₁,A₁B交AC于点E,A₁C₁分别交AC,BC于D,F两点．(12分)

                 图(a)                                      图(b)

(1)如图(a),观察并猜想,在旋转过程中,线段EA₁与FC是怎样的数量关系?并证明你的结论;

(2)如图(b),当α＝30°时,试判断四边形BC₁DA的形状,并说明理由;

(3)在(2)的情况下,求ED的长．

Answer

（1）EA1=FC．理由见解析;（2）四边形BC1DA是菱形．理由见解析;（3）ED=2﹣．

【解析】

试题分析：（1）根据等边对等角的性质可得∠A=∠C,再根据旋转的性质可得∠ABE=∠C1BF,AB=BC=A1B=BC1,然后利用“角边角”证明△ABE和△C1BF全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=BF,从而得解;

（2）先根据旋转的性质求出∠ABC1=150°,再根据同旁内角互补,两直线平行求出AB∥C1D,AD∥BC1,证明四边形BC1DA是平行四边形,又因为邻边相等,所以四边形BC1DA是菱形;

（3）过点E作EG⊥AB于点G,等腰三角形三线合一的性质可得AG=BG=1,然后解直角三角形求出AE的长度,再利用DE=AD﹣AE计算即可得解．

试题解析：（1）EA1=FC．理由如下：

∵AB=BC,∴∠A=∠C,

∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A1BC1,

∴∠ABE=∠C1BF,AB=BC=A1B=BC1,

在△ABE和△C1BF中,,

∴△ABE≌△C1BF（ASA）,

∴BE=BF,

∴A1B﹣BE=BC﹣BF,

即EA1=FC;

（2）四边形BC1DA是菱形．理由如下：

∵旋转角α=30°,∠ABC=120°,

∴∠ABC1=∠ABC+α=120°+30°=150°,

∵∠ABC=120°,AB=BC,

∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°,

∴∠ABC1+∠C1=150°+30°=180°,

∠ABC1+∠A=150°+30°=180°,

∴AB∥C1D,AD∥BC1,

∴四边形BC1DA是平行四边形,

又∵AB=BC1,

∴四边形BC1DA是菱形;

（3）过点E作EG⊥AB,

∵∠A=∠ABA1=30°,

∴AG=BG=AB=1,

在Rt△AEG中,AE=,

由（2）知AD=AB=2,

∴ED=AD﹣AE=2﹣．

考点：1.旋转的性质,2.全等三角形的判定与性质,3.菱形的判定,4.解直角三角形．