Question

如图,抛物线（b,c是常数,且c＜0）与轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧）,与轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(－1,0)．

（1）请直接写出点OA的长度;

（2）若常数b,c满足关系式：．求抛物线的解析式．

（3）在（2）的条件下,点P是轴下方抛物线上的动点,连接PB、PC．设△PBC的面积为S．

①求S的取值范围;

②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有多少个（直接写出结果）？

Answer

（1）OA=1;（2）抛物线的解析式;（3）①0＜S＜5;②+c,﹣2c;11．

【解析】

试题分析：（1）由点A的坐标为(－1,0)可得：OA=1;

（2）根据抛物线过点A (－1,0),得到：b = c+,联立,求出b,c的值即可;

（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时;（Ⅱ）当0＜x＜4时;

②由0＜S＜5,S为整数,得出S=1,2,3,4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,（Ⅱ）当0＜x＜4时．

试题解析：（1）OA=1;

（2）∵抛物线过点A (－1,0),

∴b=c+,

∵,

∴,

∵c＜0,

∴,

∴,

∴抛物线的解析式;

（3）①设点P坐标为（x,）．

∵点A的坐标为（﹣1,0）,点B坐标为（4,0）,点C坐标为（0,﹣2）,

∴AB=5,OC=2,直线BC的解析式为y=x﹣2．

分两种情况：

（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,0＜S＜S△ACB．

∵S△ACB=AB•OC=5,

∴0＜S＜5;

（Ⅱ）当0＜x＜4时,过点P作PG⊥x轴于点G,交CB于点F．

∴点F坐标为（x,x﹣2）,

∴PF=PG﹣GF=﹣（x2﹣x﹣2）+（x﹣2）=﹣x2+2x,

∴S=S△PFC+S△PFB=PF•OB=（﹣x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4,

∴当x=2时,S最大值=4,

∴0＜S≤4．

综上可知0＜S＜5;

②∵0＜S＜5,S为整数,

∴S=1,2,3,4．

分两种情况：

（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,设△PBC中BC边上的高为h．

∵点A的坐标为（﹣1,0）,点B坐标为（4,0）,点C坐标为（0,﹣2）,

∴AC2=1+4=5,BC2=16+4=20,AB2=25,

∴AC2+BC2=AB2,∠ACB=90°,BC边上的高AC=．

∵S=BC•h,∴h=．

如果S=1,那么h=×1=＜,此时P点有1个,△PBC有1个;

如果S=2,那么h=×2=＜,此时P点有1个,△PBC有1个;

如果S=3,那么h=×3=＜,此时P点有1个,△PBC有1个;

如果S=4,那么h=×4=＜,此时P点有1个,△PBC有1个;

即当﹣1＜x＜0时,满足条件的△PBC共有4个;

（Ⅱ）当0＜x＜4时,S=﹣x2+4x．

如果S=1,那么﹣x2+4x=1,即x2﹣4x+1=0,

∵△=16﹣4=12＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;

如果S=2,那么﹣x2+4x=2,即x2﹣4x+2=0,

∵△=16﹣8=8＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;

如果S=3,那么﹣x2+4x=3,即x2﹣4x+3=0,

∵△=16﹣12=4＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;

如果S=4,那么﹣x2+4x=4,即x2﹣4x+4=0,

∵△=16﹣16=0,∴方程有两个相等的实数根,此时P点有1个,△PBC有1个;

即当0＜x＜4时,满足条件的△PBC共有7个;

综上可知,满足条件的△PBC共有4+7=11个．

故答案为+c,﹣2c;11．

．

考点：二次函数综合题．