Question

四边形ABCD中,点E是AB的中点,F是AD边上的动点．连结DE、CF．

（1）若四边形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如图（1）所示．

①请直接写出AE的长度;

②当DE⊥CF时,试求出CF长度．

（2）如图（2）,若四边形ABCD是平行四边形,DE与CF相交于点P．

探究：当∠B与∠PC满足什么关系时,成立？并证明你的结论．

Answer

（1）①AE =5; ②CF=;

（2）当∠B+∠EPC=180°时,成立．证明见解析．

【解析】

试题分析：(1) ①四边形ABCD是矩形, CD=10,点E是AB的中点,可得：AE=CD=5;

②根据已知证得△AED∽△DFC,;利用相似三角形对应边成比例即可;

（2）当∠B+∠EPC=180°时,成立．根据已知证得：△DFP∽△DEA,△CPD∽△CDF,再根据对应边成比例即可．

试题解析：(1) ①∵四边形ABCD是矩形, CD=10,点E是AB的中点,

∴AE=CD=5;

②∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠FDC=90°,

∵CF⊥DE,

∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°,

∴∠CFD=∠AED,

∵∠A=∠CDF,

∴△AED∽△DFC

∴

在△AED中,∠A =90°,AD=12,AE =5,

∴

∴

CF=;

（2）当∠B+∠EPC=180°时,成立．

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠B=∠ADC,AD∥BC,

∴∠B+∠A=180°,

∵∠B+∠EPC=180°,

∴∠A=∠EPC=∠FPD,

∵∠FDP=∠EDA,

∴△DFP∽△DEA,

∴,

∵∠B=∠ADC,∠B+∠EPC=180°,∠EPC+∠DPC=180°,

∴∠CPD=∠CDF,

∵∠PCD=∠DCF,

∴△CPD∽△CDF,

∴,

∴,

∴,

即当∠B+∠EPC=180°时,成立．

考点：相似形综合题．