Question

已知：四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合）,将△ADE绕点A顺时针旋转120°后,得到△ABE',连接EE'.

（1）如图1,∠AEE'=      °;

（2）如图2,如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F,过点E作EM∥AD交直线AF于点M,写出线段DE、BF、ME之间的数量关系;

（3）如图3,在（2）的条件下,如果CE=2,AE=,求ME的长.

Answer

(1)∠AEE'=30°;

(2)当点E在线段CD上时,;

当点E在CD的延长线上时,

时,;

时,;

时,;

(3) ．

【解析】

试题分析：（1）根据旋转性质及三角形内角和定理即可;

（2）根据题意得到AN=E'N,EN=NE',再ME∥BC,得到,从而得到线段DE、BF、ME之间的数量关系;

（3）通过作辅助线,求出,再由（2）的结论得到ME的长．

试题解析：(1)根据题意知：AE=AE' , ∠E'AE=120°,所以∠AEE'=30°;

(2)当点E在线段CD上时,设AF与EE'相交于N,

∵∠E'AE=120°,∠EAF=30°,

∴∠E'AN=90°,∠AE'N=30°,

∴AN=E'N,

∵∠NAE=∠NEA=30°,

∴AN=EN,即EN=NE',

∵ME∥BC

∴△MNE∽△FNE'

∴,而E'B=DE,

∴;

同理：当点E在CD的延长线上,

时,;

时,;

时,;

(3)作于点G, 作于点H.

由AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,得∠ABC=∠DCB=60°,

易知四边形AGHD是矩形和两个全等的直角三角形.

则GH=AD , BG=CH.

∵,

∴点、B、C在一条直线上.

设AD=AB=CD=x,则GH=x,BG=CH=,.

作于Q.

在Rt△EQC中,CE=2, ,

∴, .

∴E'Q=.

作于点P.

∵△ADE绕点A顺时针旋转120°后,得到△ABE'.

∴△AEE'是等腰三角形,.

∴在Rt△APE'中,E'P=.

∴EE'=2E'P=.

∴在Rt△EQ E'中,E'Q=.

∴.

∴.

∴,.

∴

在Rt△E'AF中,,

∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'.

∴

∴.

∴.

由（2）知：

∴．

考点：三角形综合．