Question

已知二次函数y=x²–kx+k–1（k＞2）.

（1）求证：抛物线y=x²–kx+k-1（k＞2）与x轴必有两个交点;

（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,若,求抛物线的表达式;

（3）以（2）中的抛物线上一点P（m,n）为圆心,1为半径作圆,直接写出：当m取何值时,x轴与相离、相切、相交.

Answer

（1）证明见解析;

（2）抛物线的表达式为;

（3）当或时,x轴与相离.

当或或时,x轴与相切.

当或时,x轴与相交．

【解析】

试题分析：（1）要证明二次函数的图象与x轴都有两个交点,证明二次函数的判别式是正数即可解决问题;

（2）根据函数解析式求出A、B、C点坐标,再由,求出函数解析式;

（3）先求出当或或时,x轴与相切,再写出相离与相交．

试题解析：（1）∵,

又∵,

∴.

∴即.

∴抛物线y=x2–kx+k-1与x轴必有两个交点;

(2)∵抛物线y=x2–kx+k-1与x轴交于A、B两点,

∴令,有.

解得：.

∵,点A在点B的左侧,

∴.

∵抛物线与y轴交于点C,

∴.

∵在Rt中,,

∴,解得.

∴抛物线的表达式为;

（3）【解析】
当或时,x轴与相离.

当或或时,x轴与相切.

当或时,x轴与相交．

考点：二次函数综合．