Question

已知：如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线;

（2）若⊙O的半径为4,BE=2,求∠F的度数.

Answer

（1）证明见解析;（2）∠F=30°．

【解析】

试题分析：（1）如图,连结OD．欲证DE是⊙O的切线,只需证得OD⊥ED;

（2）求出AE,证△AED∽△DEB,求出DE,解直角三角形求出∠B=60°=∠ACB,根据三角形外角性质求出即可．

试题解析：（1）如图,连接OD,AD．

∵AC是直径,

∴AD⊥BC,

又∵在△ABC中,AB=AC,

∴∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,BD=CD,

∵AO=OC,

∴OD∥AB,

又∵DE⊥AB,

∴DE⊥OD,

∵OD为⊙O半径,

∴DE是⊙O的切线;

（2）∵⊙O的半径为4,AB=AC,

∴AC=AB=4+4=8,

∵BE=2,

∴AE=8﹣2=6,

∵DE⊥AB,AD⊥BC,

∴∠AED=∠BED=∠ADB=90°,

∴∠DAE+∠ADE+∠BDE=90°,

∴∠DAE=∠BDE,

∵∠AED=∠BED,

∴△AED∽△DEB,

∴,

∴,

解得：DE=2,

在Rt△BED中,tanB=,

∴∠B=60°,

∴∠CDF=∠EDB=30°,

∵AB=AC,

∴∠B=∠ACB=60°,

∴∠F=∠ACB﹣∠CDF=60°﹣30°=30°．

考点：切线的判定．