Question

某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5~50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm²）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，

薄板的边长（cm）	20	30
出厂价（元/张）	50	70

⑴求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；

⑵已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价－成本价）．

①求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式．

②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer

(1) y=2x+10 ; (2) P＝－x2＋2x＋10 ,边长为25cm时，最大利润为35元.

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；

（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；

②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．

试题解析：⑴设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，

则y=kx+n

由表格中数据得 解得

∴y=2x+10

⑵①设一张薄板的利润为P元，它的成本价为mx2元，由题意得P=ｙ－ｍｘ2＝2x+10－mx2

将x=40，P=26代入P=2x+10－mx2中，得26=2×40＋10－m×402 解得m=

∴P＝－x2＋2x＋10 （3分）

②∵a＝－＜0 ∴当（在5~50之间）时，

即出厂一张边长为25cm的薄板，所获得的利润最大，最大利润为35元

考点: 二次函数的应用.