Question

如图1，已知点D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为BC的中点

（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．

（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．

（3）将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”是否均成立？说明理由．

Answer

（1）（2）（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，推出BM=DM，BM=CM，DM=CM，推出∠BCM=∠MBC，∠ACM=∠MDC，求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°即可．

（2）延长ED交AC于F，求出DM=FC，DM∥FC，∠DEM=NCM，根据ASA推出△EDM≌△CNM，推出DM=BM即可．

（3）过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出△MDE≌△MFC，求出DM=FM，DE=FC，作AN⊥EC于点N，证△BCF≌△BAD，推出BF=BD，∠DBA=∠CBF，求出∠DBF=90°，即可得出答案．

试题解析：（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，

∵点M为BC的中点，

∴BM=EC，DM=EC，

∴BM=DM，BM=CM，DM=CM，

∴∠BCM=∠MBC，∠DCM=∠MDC，

∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE，

同理∠DME=2∠ACM，

∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90°

∴△BMD是等腰直角三角形．

（2）如图2，△BDM是等腰直角三角形，

理由是：延长ED交AC于F，

∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠EAD=45°，

∵AD⊥ED，

∴ED=DF，

∵M为EC中点，

∴EM=MC，

∴DM=FC，DM∥FC，

∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°，

∵ED⊥AB，BC⊥AB，

∴ED∥BC，

∴∠DEM=NCM，

在△EDM和△CNM中

∴△EDM≌△CNM（ASA），

∴DM=MN，

∴BM⊥DN，

∴△BMD是等腰直角三角形．

（3） △BDM是等腰直角三角形，

理由是：如图：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，

可证得△MDE≌△MFC，

∴DM=FM，DE=FC，

∴AD=ED=FC，

作AN⊥EC于点N，

由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，

可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，

∵CF∥ED，

∴∠DEN=∠FCM，

∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，

∴△BCF≌△BAD，

∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，

∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，

∴△DBF是等腰直角三角形，

∵点M是DF的中点，

则△BMD是等腰直角三角形，

考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.直角三角形斜边上的中线；3.等腰直角三角形.