Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a．

（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；

（2）当a=3时，连结DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；

（3）当tan∠PAE=时，求a的值．

Answer

（1）y=，自变量的取值范围为：0＜a＜5；

（2）四边形APFD是菱形，证明见解析；

（3）a=3或7．

【解析】

试题分析：（1）设CE=y,PC在BC上运动时，要求y关于a的函数解析式，只需要用勾股定理表示PE2=PC2+EC2就可以使问题到解决，而关键是解决PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题；

（2）先证明四边形APFD是平行四边形，再证得四边形APFD是菱形；

（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到=2，再分情况讨论，从而求出a的值．

试题解析：（1）设CE=y

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，

∵BP=a，CE=y，

∴PC=5﹣a，DE=4﹣y，

∵AP⊥PE，

∴∠APE=90°，∠APB+∠CPE=90°，

∵∠APB+∠BAP=90°，

∴∠CPE=∠BAP，

∴△ABP∽△PCE，

∴，

∴，

∴y=，自变量的取值范围为：0＜a＜5；

（2）当a=3时，y=，即CE=，

∴DE=，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD平行于BF．

∴△AED∽△FEC，

∴，

∴，

∴CF=3，

∴PF=PC+CF=5，

∵四边形ABCD是矩形，

∴四边形APFD是平行四边形，

在Rt△APB中，

AB=4，BP=3，∠B=900

∴AP=5=PF，

∴四边形APFD是菱形；

（3）根据tan∠PAE=，可得：=2

易得：△ABP∽△PCE

∴=2

于是：=2或=2

解得：a=3，y=1.5或 a=7，y=3.5．

∴a=3或7．

考点：1.相似三角形的判定与性质,2.矩形的性质,3.解直角三角形．