Question

如图,P是⊙O的直径AB延长线上一点,点C在⊙O上,AC=PC，∠ACP=120°．

（1）求证：CP是⊙O的切线；

（2）若AB=4cm，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积=2﹣．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形中等边对等角即可求得∠OCP的度数，即可证得；

（2）利用扇形的面积公式，以及阴影部分的面积=S△OCP﹣S扇形OCB即可求解．

试题解析：（1）连接OC．

∵∠ACP=120°，AC=PC，

∴∠A=∠P==30°，

∴∠COP=2∠A=60°，

在△OCP中，∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°．

∴OC⊥CP，

∴CP是⊙O的切线；

（2）AB=4cm，

则OC=AB=2cm，

∵直角△OCP中，∠P=30°，

∴OP=2OC=4，

∴CP=2，

∴S△OCP=OC•CP=×2×2=2（cm2），

S扇形OCB=（cm2），

则阴影部分的面积=2﹣（cm2）．

考点：切线的判定．