Question

已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分. 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并写出相应的点C的坐标）．

Answer

C1（3，0），C2（6，4），C3（6，），图形见解析．

【解析】

试题分析：按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况．

试题解析：过P作PC1⊥OA，垂足是C1，

则△OC1P∽△OAB．

点C1坐标是（3，0）．

过P作PC2⊥AB，垂足是C2，

则△PC2B∽△OAB．

点C2坐标是（6，4）．

过P作PC3⊥OB，垂足是P（如图），

则△C3PB∽△OAB，

∴．

易知OB=10，BP=5，BA=8，

∴．

∴C3（6，）．

符合要求的点C有三个，其连线段分别是PC1，PC2，PC3（如图）．

考点：相似变换．