Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）求证：△BEC∽△ADC；

（3）若CE=5,BD=6.5,求AB的长.

Answer

（1）证明见解析; （2）证明见解析; （3）10．

【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理的推论得到∠BDA=90°，再根据等腰三角形的性质即可得到BD=CD；

（2）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可；

（3）由（2）中的三角形相似可得到关于AC的比例式，AC可求，进而求出AB的长．

试题解析：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°.∴AD⊥BC．

∵AB=AC．∴BD=CD.∴D是BC的中点.

（2）∵AB=AC，∴∠C=∠ABD.

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BEC=90°.

∴△BEC∽△ADC.

（3）∵△BEC∽△ADC，∴CE：BD=BC：AC.

∵CE=5，BD=6.5，∴BC=2BD=13.

∴5：6.5=13：AC，∴AC=10.

∴AB=AC=10．

考点：1.相似三角形的判定和性质；2.等腰三角形的性质；3.圆周角定理．