Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）当α=60°时，求CE的长；

（2）当60°＜α＜90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

②连接CF，当CE²-CF²取最大值时，求tan∠DCF的值．

Answer

(1) 5；(2) k=3，.

【解析】

试题分析：（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解；

（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解；

②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．

试题解析：（1）∵=60°，BC=10，

∴sin=，

即sin60°=，解得CE=5；

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．理由如下：

连接CF并延长交BA的延长线于点G，

∵F为AD的中点，

∴AF=FD，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠G=∠DCF，

在△AFG和△DFC中，

，

∴△AFG≌△DFC，

∴CF=GF，AG=CD，

∵CE⊥AB，

∴EF=GF，

∴∠AEF=∠G，

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，

∴AG=5，AF=AD=BC=5，

∴AG=AF，

∴∠AFG=∠G，

在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG，

∴∠CFD=∠AEF，

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，

∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2，

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x，

∵由①知CF=GF，

∴CF2=（CG）2=CG2=（200-20x）=50-5x，

∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-（x-）2+50+，

∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2-CF2取最大值，此时，EG=10-x=10-=，

CE=，

所以，tan∠DCF=tan∠G=

考点: 1.平行四边形的性质；2.二次函数的最值；3.勾股定理.