Question

已知二次函数图象顶点为C（1,0）,直线与该二次函数交于A,B两点,其中A点（3,4）,B点在y轴上.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）P为线段AB上一动点（不与A,B重合）,过点P作y轴的平行线与二次函数交于点E.设线段PE长为h,点P横坐标为x,求h与x之间的函数关系式；

（3）D为线段AB与二次函数对称轴的交点,在AB上是否存在一点P,使四边形DCEP为平行四边形？若存在,请求出P点坐标；若不存在,请说明理由.

Answer

（1） ；（2）；（3）存在,P点坐标为（2,3）．

【解析】

试题分析：（1）因为直线y=x+m过点A,将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式,将（3,4）代入即可；

（2）由于P和E的横坐标相同,将P点横坐标代入直线和抛物线解析式,可得其纵坐标表达式；

（3）先假设存在点P,根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理,若能求出P点坐标,则证明存在点P,否则P点不存在．

试题解析：(1)把A（3,4）代入

得m=1,

∴ ,

∴B（0,1）,

设二次函数解析式为,

把A.B.C三点坐标代入得

解得

∴ ；

（2）∵P点在直线的图象上,

∴P点坐标为（,）,

∵E点在抛物线的图象上,

∴E点坐标为（,）,

∴；

（3）存在.

易求D点坐标为（1,2）,则DC=2 ,

当PE=2时,PE∥DC,四边形DCEP为平行四边形,

即 解得,,

当时,PE与DC重合,

当时,代入,

∴ P点坐标为（2,3）．

考点：二次函数综合题．