Question

已知⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（，0），CAB=90°, AC=AB，顶点A在⊙O上运动．

（1）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；（2）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．

Answer

（1），其中-1≤x≤1，S的最大值为，最小值为；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求AE的长，然后再在Rt△BAE中求出AB的长，进而求出面积的表达式，结合定义域，根据一次函数的性质确定最大最小值；

（2）相切时有两种情况，在第一象限或者第四象限，连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A点坐标，AB所在直线对应的函数关系式很容易就能求出．

试题解析：（1）如图1，连接OA，过点A作AE⊥OB于点E，

在Rt△OAE中，，

在Rt△BAE中，，

∴，其中-1≤x≤1.

∴当x=-1时，S的最大值为，当x=1时，S的最小值为.

（2）①当点A位于第一象限时（如图1），连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，

∵直线AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°.

又∵∠CAB=90°，∴∠CAB+∠OAB=180°.∴点O、A、C在同一条直线.

∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°.

在Rt△OAE中，OE=AE=，点A的坐标为（，）.

又∵B的坐标为（，0），∴过A、B两点的直线为.

②当点A位于第四象限时（如图2），点A的坐标为（，），

∵B的坐标为（，0），∴过A、B两点的直线为.

综上所述，过A、B两点的直线为或.

考点：1. 圆的性质；2.圆与直线的关系；3.勾股定理；4.由实际问题列函数关系式；5.一次函数的性质；6.待定系数法求函数关系式；7.分类思想的应用.