Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的半圆O交BC于点E，DE⊥AB，垂足为D．

（1）求证：点E是BC的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）DE是⊙O的切线，证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）连接AE，根据等腰三角形的性质易证.

（2）相切，连接OE，证明OE⊥DE即可，根据三角形中位线定理证明.

（3）在Rt△ABE中，可由锐角三角函数定义可求BE的长；在Rt△BDE中，可由锐角三角函数定义和勾股定理可求DE的长.

试题解析：（1）如图，连接AE，

∵AC是半圆O的直径， ∴∠AEB是直角，即AE⊥BC.

又∵AB=AC，∴BE=CE（等腰三角形三线合一）.∴点E是线段BC的中点.

（2）DE是⊙O的切线，证明如下：

如图，连接OE，

∵BE=EC，OA=OC，∴OE∥AB.

∵AB⊥DE，∴OE⊥DE.

∴DE是⊙O的切线.

（3）∵AC是⊙O的直径， ∴∠AEB=∠AEC=900.

∵AC=9，AB=AC，∴AB=9.

在Rt△ABE中，∵AB=9，，∴BE=3.

在Rt△BDE中， ∵，∴BD=1.

在Rt△BDE中，根据勾股定理得：.

考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.三角形中位线定理；4.切线的判定；5.锐角三角函数定义；6.勾股定理.