Question

如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点 是半圆上位于左侧的点，连结交线段于，且．

(1) 求证：是⊙O的切线．

(2) 若⊙O的半径为,,设．

①求关于的函数关系式．

②当时，求的值．

Answer

(1)证明见解析；（2）①y=x2+144（0≤x≤4），②.

【解析】

试题分析：（1）要证PD是⊙O的切线只要证明∠PDO=90°即可；

（2）①分别用含有x，y的式子，表示OP2和PD2这样便可得到y关于x的函数关系式；

②已知x的值，则可以根据关系式求得PD的值，已PC的值且PD=PE，从而可得到EC，BE的值，这样便可求得tanB的值．

试题解析：（1）证明：连接OD．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB．

∵PD=PE，

∴∠PDE=∠PED．

∠PDO=∠PDE+∠ODE

=∠PED+∠OBD

=∠BEC+∠OBD

=90°，

∴PD⊥OD．

∴PD是⊙O的切线．

（2）①连接OP．

在Rt△POC中，

OP2=OC2+PC2=x2+192．

在Rt△PDO中，

PD2=OP2-OD2=x2+144．

∴y=x2+144（0≤x≤4）.

②当x=时，y=147，

∴PD=7，

∴EC=，

∵CB=3，

∴在Rt△ECB中，tanB=．

考点: 1.二次函数综合题；2.切线的判定；3.解直角三角形.