Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t s，四边形APQC的面积为y cm²．

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

（2）①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当t为何值时，y取得最小值？最小值为多少？

（3）设PQ的长为x cm，试求y与x的函数关系式．

Answer

（1）当t＝或时，△PBQ是直角三角形；（2）①y ＝8－（0≤t≤4），②当t＝2时，y取得最小值，最小值是；（3）y ．

【解析】

试题分析：（1）分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°两种情况讨论即可；

（2）根据三角形的面积公式列式y ＝S△ABC －S△BPQ即得函数关系式，根据二次函数最值原理即可得出y取得最小值时t的值和y的最小值；

（3）把t2－4 t＝代入y ＝8－化简即可.

试题解析：（1）当t＝或时，△PBQ是直角三角形，理由如下：

∵BQ＝AP＝t， BP＝4－t，

∴①当∠PQB＝90°时，由得： t ＝4－t，解得：t＝；

②当∠QPB＝90°时，由得：，解得：t＝.

∴当t＝或时，△PBQ是直角三角形.

（2）①过P作PH⊥BC，在Rt△PHB中，BP＝4－t ，PH＝，

∴S△BPQ＝，

∴y ＝S△ABC －S△BPQ＝8－.

由题意可知：0≤t≤4 .

②y＝8－＝，

∴当t＝2时，y取得最小值，最小值是．

（3）在Rt△PQH中，PH＝（4－t），HQ＝（4－t）－t，

由PQ2＝ PH2＋HQ2，则x2＝〔（4－t）〕2＋〔（4－t）－t〕2

化简得：x2＝（2＋）t 2－4（2＋）t＋16，∴ t2－4 t＝.

将t2－4t＝代入y ＝8－，得y ＝8＋·．

考点：1.双动点问题；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的性质；4. 直角三角形的判定；5.勾股定理；6.分类思想、转换思想和整体思想的应用.